Control robusto 3

control en lazo cerrado

Como ya vimos en Control en lazo cerrado o lazo abierto, si queremos implementar un sistema que realice una tarea automática dentro de unos parámetros establecidos, debemos hacer un estudio y un modelo de diseño. Tenemos que realizar un Control.

Esquema general de un sistema de control robusto

En los inicios de la Ingeniería de Control o lo que llamamos control clásico, con la implantación de sistemas en lazo abierto o cerrado o mediante varias capas de control, podíamos controlar cualquier sistema complejo de forma autónoma. Con el desarrollo de las tecnologías y la electrónica, los controladores clásicos empezaron a dar muestras de quedarse cortos.

Aunque en la actualidad el controlador por excelencia en la industria siga siendo el PID (Proporcional-Integral-Derivativo), cada vez hay más sistemas complejos que escapan a su alcance. Por esta razón surgieron nuevos tipos de controladores más específicos y más precisos. Comienza a desarrollarse el control moderno centrado en la simplificación de las ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo para sistemas reales. Pero el problema de modelizar sistemas reales es que al implantarlos surgen diferencias que afectan a la estabilidad final. Si realizamos un modelo, y lo controlamos de forma que asumimos los errores surgidos de la implementación real para lograr un sistema estable dentro de un rango, estamos realizando un control robusto.

Cuando cogemos un sistema real y extraemos las ecuaciones que definen el comportamiento de la planta, siempre es necesario realizar aproximaciones para acotar las matemáticas. Hay modos que no analizamos, grados de libertad que no consideramos, anomalías, influencias externas (perturbaciones), etc. Cogemos nuestro modelo matemático y realizamos un control sobre la planta y obtenemos un sistema estable (Este sistema se dice que tiene una estabilidad y un comportamiento nominal). Pero cuando lo construimos, las cosas no se comportan exactamente igual. Siempre hay un margen de tolerancia para este tipo de inexactitudes, pero hay casos en los que ese margen es muy estrecho. En esos casos es cuando necesitamos realizar un control que implique más datos sobre el comportamiento real.

A la hora de realizar un control robusto debemos de tener en cuenta las siguientes definiciones:

    • Incertidumbre: Diferencias y/o errores existentes entre el modelo matemático y la planta real.
    • Incertidumbre estructurada: Se refiere a las variaciones paramétricas en la planta. Tales como diferencias en los ceros y polos de la función de transferencia.
    • Incertidumbre no estructurada (Δ(s)): Son aquella incertidumbres dentro del modelo de la planta que dependan de la frecuencia como los modos de alta frecuencia o de la linealización de sistemas no lineales.
    • Estabilidad robusta: Cuando el sistema controlado es estable ante la presencia de un rango establecido de perturbaciones.
    • Comportamiento robusto: Cuando el sistema controlado realiza una serie de ajustes para cumplir las características y especificaciones necesarias para considerar que el sistema es estable cuando sufre perturbaciones.
    • Norma H: Es el factor máximo de amplificación posible en la respuesta en el estado estacionario de un sistema de una entrada y una salida ante una entrada sinusoidal. Se utiliza para medir la magnitud de una función de transferencia propia y estable en le dominio del tiempo.
      Dado un escalar Φ(s) se define como ||Φ||max[Φ(jω)] siendo σmax el máximo valor singular de Φ(jω). σi = (λi(Φ*Φ))½.

Para realizar un control robusto lo primero que debemos hacer es realizar el modelo matemático de la planta teniendo en cuenta las incertidumbres estructurales y no estructurales. Normalmente se suele trabajar con incertidumbres no estructurales, o mejor dicho, aproximaciones a estas ya que la descripción real y exacta es desconocida. Se trabaja con modelos matemáticos y aproximaciones a la realidad tanto en el diseño de la planta como del controlador.

Los modelos más comunes de planta suelen estar definidas como un modelo lineal con funciones de peso que representan las incertidumbres y las especificaciones de diseño. Las funciones de peso son muy importantes en estos modelos debido a que determinan los modelos de los controladores debido a las dependencias matemáticas.

Una vez modelado el sistema, buscamos la estabilidad robusta mediante el teorema de pequeña señal. Este dice que si la norma de la función de transferencia de un sistema en lazo cerrado es menor que la unidad, el sistema es estable. Este teorema presenta una condición suficiente pero no necesaria. Aunque no se cumpla el teorema el sistema modelado puede ser estable. Por lo tanto, dado el esquema  de la izquierda sacado del libro de K. Ogata, ||Δ(s)M(s)||<1.

Por lo tanto, el control robusto consiste en encontrar los valores de los pesos de la función de transferencia del modelo de planta generalizo (z(s)/w(s)), que hagan mínima la norma H. Para resolver estos problemas existen tres métodos. Derivar las ecuaciones de Riccati y resolverlas, utilizar el método de desigualdad de la matriz lineal o suponer incertidumbres estructurales a partir del método de análisis y de síntesis. Los tres métodos tienen una gran carga matemática por lo que son complejos de resolver.

Una vez obtenido los valores matemáticos podemos pasar a construir el controlador  real sabiendo que obtendremos unos resultados mucho más estables ante las perturbaciones internas y externas.

El marco en el que se mueve el control robusto es tanto el dominio del tiempo como el de la frecuencia y la complejidad matemática de los modelos es muy alta. Estas son las razones por las que aunque el sistema obtenido es muy estable y preciso, robusto, no se suele realizar este tipo de controles si no es para sistemas que necesitan una alta tasa de precisión.

Referencias:


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