Criterio de estabilidad de Nyquist. 5

En la Teoría de Control moderna, uno de los puntos más cruciales para satisfacer un sistema, es conocer la estabilidad del mismo. Pero las matemáticas que caracterizan dichos sistemas pueden llegar a ser difíciles de manejar debido a la dependencia de variables complejas. La simplificación por medio de transformadas y dominios son herramientas esenciales para los ingenieros. Una de estas herramientas es el Criterio de Estabilidad de Nyquist.

Este matemático realizó numerosas aportaciones a la Ingeniería de Control, y en este caso vamos a analizar una de las más simples pero importantes. Nyquist formuló un criterio semigráfico basado en varios teoremas de variables complejas para determinar la estabilidad de un sistema en lazo cerrado mediante el estudio de la función característica en lazo abierto. La importancia de este criterio radica en que no solo simplifica el cálculo a una parte de la función característica del sistema. Sino que en caso de no conocer dicha función característica, mediante el estudio de la respuesta en frecuencia, es posible conocer la estabilidad.

El criterio de Nyquist se puede enfocar de dos formas. Conociendo en detalle el comportamiento de un sistema mediante la Función de Transferencia. O por el estudio del comportamiento de dicho sistema antes señales en frecuencia y su análisis mediante Diagramas de Bode. Y una vez conocida la FT en lazo cerrado, y representando los ceros y polos de la parte correspondiente al lazo abierto, podemos construir una trayectoria en coordenadas polares. Siendo cada eje las partes real e imaginaria de la ecuación.

F(s) = G(s)/(1+G(s))

El álgebra de variable compleja describe los puntos singulares de un sistema como aquellos que anulan la función. En este caso serán aquellos que hagan F(s) = 0 (1+G(s) = 0). Que se corresponden por tanto a los ceros y polos de la Función de Transferencia. Una vez representado la trayectoria y los puntos singulares en la gráfica polar, podemos determinar la estabilidad del sistema en un punto dado contando el número de veces que la trayectoria encierra dicho punto y el sentido del giro. Por tanto, dependiendo de la representación gráfica de los puntos singulares:

• Semiplano izquierdo:
  • Lazo abierto: En caso de que la trayectoria del sistema no sea cerrada, se dice que si todos los polos de L(s) se encuentran en el semiplano izquierdo (SPI), el sistema en lazo abierto es estable.
  • Lazo cerrado: Se dice estable si los polos de L(s) o los ceros de 1+L(s) se encuentran en el SPI. Aunque las excepciones con s = 0 deben ser analizadas.
• Semiplano derecho: Para determinar la estabilidad de estos puntos Nyquist se basa en Principio del Argumento de Cauchy. Concluyendo que si N es el número de veces que la traza encierra un punto, y P el número de polos que se encuentran en el semiplano derecho (SPD), un sistema es estable si N=-P (con los encierros hechos en el sentido de las manecillas del reloj).

Y de forma sencilla queda descrita la viabilidad de las ecuaciones características de un sistema. Y por lo tanto del sistema completo.

La importancia del Criterio de Estabilidad de Nyquist frente a otros métodos matemáticos es, además de su sencillez, la capacidad de analizar sistemas con polos y ceros en el SPD. Ya que estas ecuaciones en variable compleja son de difícil solución.

Por esta razón es uno de los métodos más utilizados a la hora de enfrentarse con un Sistema Lineal y su estabilidad.

Referencias:

• Ingeniería de control moderna. K. Ogata. Pearson. 5º Edición.
• http://isa.uniovi.es/docencia/ra_marina/UCLM_TEMA10.PDF