Todos hemos sido presas de esa sensación mágica de encontrarnos frente a una acumulación de agua quieta y sentir que nuestros ojos nos muestran en su superficie algo imposible. La luz y el agua suelen ponerse de acuerdo para excitar nuestro cerebro a través de nuestros ojos. Desde los impresionantes arcoíris, a los espeluznantes pozos sin fondo escondidos en cuevas en los que al tirar piedras se producen chapoteos que salpican nuestras botas, pasando por nuestros reflejos en aguas cristalinas.
La luz es a la vez una onda y una partícula. Esta dualidad le otorga la capacidad de «hacer trampas». Puede dividirse en colores, volver a juntarse en un haz blanco, girar esquinas, dibujar patrones superpuestos de luces y sombras, darnos sensación de calor o frio, ayudarnos a medir distancias y calcular desplazamientos o simplemente reflejarse en un estanque.
En otra publicación de este blog vimos como la luz es un espectro electromagnético que se propaga en forma de ondas excitando las superficies que ilumina. Cuando un material recibe ese haz luminoso, es excitado y según sus propiedades «vibra» en una frecuencia dada que hace que parte de esa luz sea reflejada. Esa parte de luz corresponderá con una frecuencia del espectro electromagnético que se corresponde con el color del material al captarla nuestros ojos.
Pero cuando la luz llega a la superficie de un elemento cuya densidad y características intrínsecas no produce dicha absorción, la luz tiene dos opciones. Reflejarse, que es como salir rebotada, o refractarse que es cuando atraviesa el nuevo material. Los materiales en los que se produce la reflexión se llaman reflectantes o espejados, los refractantes suelen denominarse translúcidos o transparentes. Y la superficie donde se produce este fenómeno se llama interfaz.
Para que la luz se propague, necesita un medio físico por el que moverse. La velocidad de dicha propagación está determinada por las características físicas del medio. Cuanto más densidad tiene el medio, más se ralentiza la luz, siendo en el vacío donde se desplaza más rápido, 299.792.458 m/s, y el diamante uno de los medios más lentos, 124.034.943 m/s. Esto quiere decir que si un rayo de luz que viaja velozmente por el vacío se choca con un diamante, en la superficie o interfaz de este pueden ocurrir dos cosas. Que el rayo rebote y siga su camino por el espacio en otra dirección, o que entre en el diamante y se desplace mucho más despacio.
Ya en el siglo X Ibn Sahl definió una relación entre estas velocidades y las direcciones de los rayos reflejados y refractados al cambiar de medio. Y en el siglo XVI podemos encontrar nuevos intentos de formular formalmente este fenómeno. Pero no fue hasta el siglo XVII y la llegada de Willebrord Snel van Royen (y parejamente de Descartes) que no se formalizó definitivamente.
En la que posteriormente sería conocida como Ley de Snell o en algunos sitios Ley de Snell-Descartes, se realiza una relación univoca entre las velocidades de propagación de la luz en el vacío, c, y la del medio por la que se desplaza. Dicha relación de pares tiene como resultado un valor característico para cada material que se denomina índice de refracción.
índice de refracción -> n = c / v
Por lo que según la Ley de Snell el índice de refracción es 1 para el vacío. Y aumenta paulatinamente hasta los 2,417 del diamante.
Si analizamos el cambio de medio en una interfaz, donde un rayo de luz incide sobre la superficie de un material diferente, obtenemos el siguiente esquema.
Al primer rayo se le llama incidente, y al rayo que atraviesa el interfaz se le llama rayo refractado, o para distinguirlo mejor, rayo transmitido. Y las relaciones entre los ángulos de incidencia y refracción quedan fijadas por la Ley de Snell. De forma que si conocemos la velocidad de la luz en el nuevo medio podemos trazar la trayectoria resultante de atravesar el interfaz de medios. Y si conocemos los ángulos podemos calcular la velocidad en el nuevo medio.
n1 sen ɵi = n2 sen ɵt -> c/vi sen ɵi = c/vt sen ɵt
La Ley de Snell es por lo tanto una relación unívoca entre la geometría de la luz y la velocidad de la onda.
En superficies que no sean totalmente transparentes, una porción de la luz rebota en el interfaz generando un rayo reflejado. Dado que no se produce cambio de medio, el ángulo de reflexión será el mismo que el de incidencia. Este es el caso del agua, donde se observan las imágenes tanto desde fuera del agua como desde dentro. Aunque ninguna de las dos está completamente defienda por la perdida de rayos en el otro medio.
Pero cuando estamos ante un estanque y vemos una imagen distorsionada y nos desplazamos podemos llegar a enfocar mejor. Esto es debido a que debido a la relación trigonométrica de la ecuación, los valores están acotados por la inversa del seno del ángulo de incidencia. El arcoseno es una función trigonométrica cuya representación gráfica en dos dimensiones es asintótica en los extremos. Esto quiere decir que cuando el rayo incide con un ángulo mayor que un valor dado, todo el rayo queda reflejado, enfocándose la imagen.
ɵc = arcsen (n2/n1)
Este ángulo se llama ángulo crítico, y el fenómeno, reflexión total.
La Ley de Snell es por tanto una forma simple y elegante de relacionar la velocidad de la luz en un medio con la trayectoria de desplazamiento. Es una ecuación sencilla pero que relaciona conceptos muy importantes como la velocidad de luz. Más teniendo en cuenta que dicho valor sirve como medida estándar en muchas definiciones. Por lo que ser capaces de calcular dicho valor con precisión y de forma rigurosa es necesario. Las funciones trigonométricas se ajustan perfectamente a las leyes de la Naturaleza. Son por tanto un marco perfecto para crear relaciones como en este caso. Son un nexo claro y visual que explica de forma matemática estos curiosos fenómenos con los que la luz juega con nosotros.
