Operador de Dirac. Bra-kets. 2


Con el desarrollo de las matemáticas las ecuaciones se han vuelto más y más complejas. Y con las ecuaciones, su escritura. Si los matemáticos tuvieran que escribir todas las implicaciones de un teorema y su desarrollo con simples operadores algebraicos, no habría papel ni pizarra capaz de contenerlas.

Por esta razón, cuando se establece un teorema o un método se estandariza, se simplifica su uso mediante la asignación de un operador. Y suele designarse con el nombre del matemático que lo planteó. Operadores de Laplace, de Lagrange (o lagrangianos), de Euler, de Dirac, etc.

Por lo tanto, cuando utilizamos un operador como el símbolo de la suma, estamos simplificando un conjunto de condiciones algebraicas que otorgan a un grupo de números naturales, enteros, racionales, etc. e incluso vectoriales, las categoría de anillo y la estructura de grupo abeliano. Cuyas propiedades son clausurativa, asociativa, conmutativa, distributiva y cancelativa. Y todo esto en un simple símbolo «+».

En el caso del operador de Dirac, el algebra que contiene se complica bastante. Un poco de derivadas, espacios de Minkowski, laplacianos, álgebra de Clifford, estadística y un toque de trigonometría. Todo comprimido en una simple ecuación cuadrática. D2 = ∆ (con ∆ el símbolo del laplaciano). Siendo dicho laplaciano un operador diferencial de segundo orden, de los clasificados como elípticos, que está directamente relacionado con el gradiente de un espacio cartesiano.

Y por lo tanto podemos definir la ecuación una ecuación hiperbólica:

a2 = b2 + c2

Esta capacidad nos permite definir espacios cerrados en coordenadas cartesianas. Y por lo tanto utilizar este sistema para definir sistemas estables de ecuaciones lineales.

En Física esta característica es muy apreciada ya que, junto con las ecuaciones complejas, nos permite representar el espacio con variables conjugadas. Por lo que podemos aplicarlo a las matemáticas más complejas.

Si volvemos sobre el laplaciano en su aplicación como gradiente, podemos definir el operador de Dirac como la derivada parcial en el espacio (D = – i ∂ x). Y con un poco de magia algebraica hacer una transformación matricial de la ecuación, obteniendo la tangente a la superficie hiperbólica tal que:

D = – i ∂ x – i ∂ y – i ∂ z

Si consideramos cada vector columna del espacio como una representación independiente pero sistemática, podemos asignar un símbolo común que resuma dichas representaciones. Por lo que podemos definir:

Por lo que aplicado un conjunto de normas y reglas algebraicas a ecuaciones espaciales hemos dividido el sistema en grupos similares. Luego lo hemos simplificando con una simple notación de barra y flecha («|» y «>»). Y entre medias de este nuevo operador colocamos el objeto matemático sobre el que se va a realizar dicha operación.

Y si aplicamos a esta nueva definición las normas de las variables complejas podemos definir un operador de Dirac conjugado como < |. A esta pareja de operadores se les denomina pares bra-ket. Donde bra, <xi|, es el conjugado del ket, |xj>.

Este operador de Dirac tiene mucha fuerza de simplificación. Y además puede utilizarse sobre un buen número de objetos algebraicos. Pero donde se ha asentado con fuerza es en la Física y la Mecánica Cuánticas. Si se aplica a funciones de onda definidas en espacios de Hilbert, H, como ψi, podemos trabajar con las consecuencias de la Ecuación de Schrödinger sin volvernos locos.

La representación formal queda dada como:

Operadores de Dirac en Mecánica Cuántica
Bra-kets de una función de onda

Siendo por tanto:

Esta suma es el equivalente a la representación de una superposición de estados en la que la probabilidad de cada ket es el cuadrado del valor de su constante de multiplicación.

Operador de Dirac de funciones de onda

Con estos aparentemente sencillos operadores de Dirac la Mecánica Cuántica queda perfectamente definida. Estados y sus conjugados. Todos siguiendo las normas y convenciones cuánticas. La notación además facilita en gran medida la comprensión de las operaciones y de los teoremas, que son la base de la Computación Cuántica, y la representación en qubits. Por lo tanto los operadores de Dirac son casi el equivalente al sistema binario de la tecnología del futuro.




Referencias:


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