Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz

Dentro de la Ingeniería de Control existen muchos algoritmos y teorías. Pero los más importantes son los relacionados con la estabilidad de los sistemas, ya que implica la viabilidad de estos. Ser capaces de decidir en el momento del diseño de un controlador si el sistema será estable, o al menos estable bajo ciertos criterios, es el requisito más importante del Control de Sistemas.

En los inicios de la Ingeniería de Control los complejos cálculos matriciales y los diferentes algoritmos que hoy en día resuelven los computadores personales en un abrir y cerrar de ojos, eran impensables. Por esa razón los métodos semigráficos de calculo de estabilidad eran tan importantes. Calcular y dibujar las raíces del polinomio característico del sistema en el plano complejo, permite determinar la estabilidad de dicho sistema. El Criterio de estabilidad de Nyquist por ejemplo, se basa en este cálculo de raíces y polos.

Dado un sistema complejo, realimentado o no (lazo cerrado o abierto), puede obtenerse una Función de Transferencia o FT que lo caracterice. El análisis del sistema para obtener la FT puede realizarse de varias maneras, como el estudio de su respuesta en frecuencia o los diagramas de Bode. Y una vez obtenida esa FT que lo define, pueden obtenerse las raíces del sistema y analizar la estabilidad.

Pero no siempre es sencillo obtener las raíces de una ecuación de grado superior a dos. En esos casos es donde entran algoritmos como el Criterio de estabilidad de Routh o de Routh-Hurwitz.

En el caso de que se conozca una FT, ya sea del lazo cerrado o abierto realimentado siendo K la ganancia del sistema (F(s) = KxN(s)/D(s)), el análisis de la estabilidad se va a realizar sobre el denominador, D, de la FT del lazo abierto. Por lo tanto debe eliminarse la retroalimentación quedando la siguiente ecuación. F(s) = KxN(s)/(D(s)+KxN(s)). Con la que podemos analizar las raíces en el plano complejo en función de la ganancia K del sistema.

Los resultados obtenidos según la posición de las raíces en el plano son:

Si las raíces quedan en el semiplano izquierdo -> Sistema estable
Si las raíces queda en el semiplano derecho -> Sistema inestable
Si, en función de K, el sistema puede quedar en el semiplano izquierdo -> Estable según el rango de K

Por lo que el problema es calcular las raíces del polinomio de grado n del denominador de la Función de Transferencia. Y para esta tarea casi imposible sin líneas y líneas de ecuaciones, utilizamos las tablas de Routh.

La utilidad de estas tablas se debe la condiciones de estabilidad necesaria pero no suficiente que dice:

«Todos los coeficientes del polinomio característico analizado deben tener parte real negativa y por lo tanto todos los coeficientes de la ecuación deben estar presentes y tener signo positivo.»

Routh y Hurwitz siguieron esta condición para obtener un método con el que calcular las raíces del polinomio mediante una composición de pequeños y manejables determinantes. De esta forma reducían el complejo calculo de las raíces a pequeñas cuentas más sencillas y la condición de necesaria pasa a ser necesaria y suficiente de la siguiente forma:

«Si todas los coeficientes de la primera columna de la tabla de Routh son positivos, el sistema es estable«

Lo que quiere decir que si los determinantes calculados para la primera columna son positivos, el sistema es estable. Si existe una dependencia de K, el sistema será positivo dentro del rango de K que haga que esos coeficientes sean positivos. Y si al menos uno de los coeficientes es negativo, el sistema será inestable.

Existen dos casos excepcionales en el cálculo de las tablas de Routh.

Cuando uno de los coeficientes de la primera fila es 0.
Cuando toda una fila es nula.

Por lo que gracias a las tablas de Routh, y de una manera escalonada, se puede de una forma sencilla analizar la estabilidad de un sistema complejo con una FT cuyo denominador es un polinomio característico de grado n.

Análisis mediante tablas de Routh

Para empezar el análisis según las tablas, debemos colocar los coeficientes en las dos primeras columnas de mayor grado de s a menor. El orden es primero en la izquierda de la primera columna, el siguiente debajo, y luego se pasa a la siguiente fila en la primera columna.

Asignación de coeficientes del polinomio en las casillas de la tabla de Routh

Las siguientes filas se completan mediante el cálculo del determinante negativo resultante de los dos valores de la primera columna superiores al coeficiente que se desea calcular y los de la columna posterior. El resultado del determinante se divide entre el valor de la primera columna de la fila superior a la que estamos calculando.

Cálculo de coeficientes mediante determinantes

El cálculo de los coeficientes se realiza de forma escalonada hacia abajo hasta obtener el valor del nivel s₀. Una vez obtenidos todos los coeficientes, si alguno de los calculados en la primera columna es negativo el sistema será estable. O en el rango de K en el que lo sea en caso de ser dependiente de la ganancia.

En el proceso de calculo de los coeficientes puede ocurrir que se presente una de las dos excepciones definidas en el cálculo de estabilidad de Routh-Hurwitz.

Primera excepción:

En este caso uno de los coeficientes de la primera columna es 0. Por ejemplo α = 0. Para poder seguir con el cálculo de los coeficientes se sustituye dicho coeficiente por un valor muy pequeño denominado ε. Una vez completada la tabla de Routh, si los coeficientes superior inferior al valor sustituido son del mismo signo, significa que el polinomio característico presenta dos raíces complejas puras conjugadas (±xj). Si los signos son diferentes el sistema será inestable.

Segunda excepción:

Si coincide que todos los coeficientes de una fila son nulos, existen dos soluciones complejas puras conjugadas en las raíces (±xj) y por lo tanto podemos seguir la construcción de la tabla de Routh empleando la derivada del polinomio correspondiente a la fila superior.

En ambos casos los polinomios característicos contienen raíces conjugadas, aunque la estabilidad del sistema no depende de ellas, si no del resto de los coeficientes de la tabla de Routh.

Este método de análisis de estabilidad permite discriminar los sistema estables de los inestables sin resolver las complejas ecuaciones diferenciales de los polinomios característicos. Este sistema no sirve para obtener las raíces del polinomio, pero si que es una herramienta potente para desechar potenciales sistemas de control que presenten inestabilidad antes de gastar tiempo y dinero en prototipos y pruebas.

Referencias:

El blog de Ciencia de Mariana Toledano Diaz

El blog de Ciencia de Mariana Toledano Diaz