El espacio de Hilbert es un concepto puramente matemático. Contenido en el ámbito del álgebra, su nomenclatura por tanto tiene base y aplicaciones complejas. Pero en este post, como con otros conceptos matemáticos, solo vamos a hacer una pequeña definición del concepto. Suficiente para entender la relación con la Física. En concreto con la mecánica cuántica.
Un espacio de Hilbert se define como un espacio vectorial con producto interno. Esto quiere decir que es un conjunto algebraico que contiene vectores cuyo producto genera números enteros. Este producto es importante para poder realizar medidas y relacionar los vectores mediante ángulos. Además cumple que el producto interno de un vector consigo mismo es igual a la norma del vector. Y ese vector también es contenido por dicho espacio, por lo que decimos que es un espacio completo.
El espacio de Hilbert es por tanto la definición algebraica del espacio vectorial complejo en el que puede calcularse la relación entre vectores de forma métrica. Tanto en longitud como en ángulos. Pero la característica por la que David Hilbert postuló en 1912 un espacio vectorial tan importante es que lo concibió con una dimensión infinita. Al contrario que los matemáticos de su generación, Hilbert entendió que era necesario definir un espacio vectorial tan grande que fuera capaz de albergar toda la mecánica cuántica.
Este espacio vectorial, es importante en la mecánica cuántica ya que los estados de un sistema cuántico suelen representarse como vectores. En concreto, el operador de Dirac de la función de onda ∣ψ⟩ se expresa en el espacio de Hilbert y contiene la información completa de sistema.
Para dos funciones de onda de Dirac contenidas en el espacio de Hilbert, el producto vectorial también estará contenido.
|ψ〉, |φ〉 ∈ H =⇒ α|φ〉 + β|ψ〉 ∈ H.
La norma de la función de onda se describe como:
||ψ||2 = 〈ψ|ψ〉
Y que el producto es igual a su conjugado
〈φ|ψ〉 = 〈ψ|φ〉*
Todos contenidos en el espacio de Hilbert complejo e infinito.
Para obtener las propiedades del sistema, como la velocidad (momento) o la posición, aplicamos un operador lineal a un espacio de Hilbert. Este proceso suele definirse como la aplicación de un observable a un vector de estado. Y la aplicación del producto interno a dichos observables nos permite calcular la probabilidad de dicho observable. Que coincide con el propósito de la mecánica cuántica. Que es la parte de la física que trabaja con las probabilidades de las propiedades de las partículas.
Los espacios de Hilbert y la mecánica cuántica están estrechamente ligados. Y no se puede expresar la segunda sin la primera. Pues son las herramientas necesarias para trabajar con las particularidades del mundo cuántico. El resto de operadores sobre los que se basa gran parte de las ecuaciones cuántica y la futura computación cuántica no podrían entenderse fuera del espacio de Hilbert. Y por eso es en la actualidad uno de los conceptos matemáticos más importante y más usado.
Ampliación matemática:
Referencias: