Diagramas de Bode. 4

Entre los años 30 y 40 del siglo XX, los científicos como Nyquist, Bode o Nichols entre otros, quisieron potenciar los métodos matemáticos para el control de sistemas. Tanto para los sistemas de control en lazo cerrado como en lazo abierto, la obtención de modelos matemáticos y el posterior estudio de estos para obtener la estabilidad deseada, se realizaba con modelos dependientes del tiempo. Dominio del tiempo. Para ello se analizaban las respuestas del sistema ante entradas de tipo escalón.

Pero se comprobó que un sistema en lazo cerrado es cualitativamente equiparable con un sistema estacionario en lazo abierto sometido a una entrada sinusoidal. Mediante la transformación temporal s = jω, pasamos a analizar un sistema en base a las frecuencias de la señal sinusoidal. Dominio en frecuencia. Con este método, sencillo y muy preciso, podemos obtener las funciones de transferencia equivalentes de sistemas muy complejos.

La estabilidad de Nyquist, los diagramas de Bode o los diagramas polares son algunas de las técnicas de control que corresponden al dominio de la frecuencia. Vamos a desarrollar los diagramas de Bode.

También llamados diagramas logarítmicos, ya que se construyen sobre ejes de coordenadas con las abcisas definidas en base logarítmica y siempre van por parejas. Uno para representar la magnitud de la función de transferencia (G(jω)) y la otra para la fase (∠). Las representaciones están dibujadas contra la frecuencia en un eje logarítmico en base decimal. Son diagramas semilogarítmicos. El eje de las frecuencias se dice que está dividido en décadas correspondientes a un orden de magnitud de ω. La magnitud de la función de transferencia se representa en decibelios, dB, que se corresponden con 20log|G(jω)|. Y la fase se representa en grados (º).

Aunque la escala logarítmica de las frecuencias hace imposible representar la frecuencia 0, nos ofrece la capacidad de representar las curvas mediante asíntotas, amplifica la representación de bajas frecuencias y la multiplicación de magnitudes pasa a ser simples sumas.

Cuando se va a analizar un diagrama de Bode hay que tener en cuenta los siguientes puntos.

• La ganancia (K): Es la constante de proporcionalidad entre la señal de entrada y la señal de salida de un sistema. Para sistemas de magnitudes constantes, la función de transferencia es igual a la ganancia. G(s)=K. En los diagramas de Bode se corresponde con una recta de pendiente nula y de fase 0º si es positiva o de 180º si es negativa. El valor de la recta es de 20log(K), por lo que K = 10^(dB/20).
  En caso de que la curva de ganancia no sea constante, se calcula en ω = 1, frecuencia unidad, y si no es así se observa la diferencia de dB.

• Las pendientes: Las pendientes del diagrama de Bode se corresponden con los polos y los ceros de la función de transferencia. Si las pendientes son positivas corresponden a polos (1/(Ts±1)ⁿ) y si son negativas a ceros (Ts±1)ⁿ. La pendiente será del orden de 20*ndB por década y las rectas asintóticas se cruzarán en ω = 1/T.
• Los cambios de fase: Los desfases se producen a la vez que las pendientes. También se corresponden con los polos y los ceros. Las valores serán de -(90*n)º para los polos y de (90*n)º para los ceros y la curva de cambio es tal que en ω = 1/T se encuentra el punto de inflexión.

• La forma de las curvas: Cuando los polos o los ceros son simples, las curvas en la gráfica de la función de transferencia son suaves. Por el contrario, si las curvas son picudas, nos estará indicando que el polo o cero es complejo conjugado o cuadrático, (1/(T²s²+2Tδs+1)) o (T²s²+2Tδs+1). Los ceros conjugados son muy raros de encontrar mientras que los polos son muy comunes y suelen darse cuando la función de transferencia no es completamente factorizable. El valor de δ determina la altura del pico de la curva. Al ser de segundo grado, tienen pendientes de ±40dB por década y desfases de ±180º.

El conjunto de estos cuatro puntos nos da la información necesaria para construir la función de transferencia G(jω) del sistema. Normalmente los diagramas son una composición de varios términos que necesitan un detallado análisis pero los resultados son muy buenos.

Una vez obtenida la función de transferencia, estamos listos para realizar el control del sistema de forma precisa.

Referencias:

• Apuntes de la asignatura «Control de sistemas» de Ciencias Físicas. UCM
• Ingeniería de control moderna. K. Ogata. Pearson